一、椭圆方程.
1. 椭圆方程的第一定义：
⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x轴上：
.
ii. 中心在原点，焦点在
轴上：
.
②一般方程：
.
③椭圆的标准方程：
的参数方程为
（一象限
应是属于
）.
⑵①顶点：
或
.
②轴：对称轴：x轴，轴；长轴长
，短轴长
.
③焦点：
或
.
④焦距：
.
⑤准线：
或
.
⑥离心率：
.
⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：
和
⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆
的离心率是
，方程
是大于0的参数，
的离心率也是
我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.
⑸若P是椭圆：上的点.
为焦点，若
，则
的面积为
（用余弦定理与
可得）. 若是双曲线，则面积为
.
二、双曲线方程.
1. 双曲线的第一定义：
⑴①双曲线标准方程：
.
一般方程：
.
⑵①i. 焦点在x轴上：
顶点：
焦点：
准线方程 渐近线方程：
或
ii. 焦点在轴上：
顶点：
. 焦点：
. 准线方程：. 渐近线方程：
或
，参数方程：
或
.
②轴
为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c.
③离心率.
④准线距
（两准线的距离）；通径
.
⑤参数关系
.
⑶等轴双曲线：双曲线
称为等轴双曲线，其渐近线方程为
，离心率
.
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.
与
互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.
⑸共渐近线的双曲线系方程：
的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.
例如：若双曲线一条渐近线为
且过
，求双曲线的方程？
解：令双曲线的方程为：
，代入
得
.
⑹直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；
区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
小结：1.过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
2.若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入
法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.
⑺若P在双曲线
，则常用结论
1：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.
2：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n. 简证：
= 
.
三、抛物线方程.
3. 设
，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
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图形 |
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焦点 |
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准线 |
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范围 |
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对称轴 |
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顶点 |
（0，0） |
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离心率 |
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|||
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焦点 |
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注：①
顶点
.
②
则焦点半径
;
则焦点半径为
.
③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
④
（或
）的参数方程为
（或
）（
为参数）
四、圆锥曲线的统一定义..
4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线
的距离之比为常数
的点的轨迹.
当
时，轨迹为椭圆；当
时，轨迹为抛物线；当
时，轨迹为双曲线；当
时，轨迹为圆（，当
时）.
注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
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椭圆 |
双曲线 |
抛物线 |
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定义 |
1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 |
1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹 |
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2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<e<1） |
2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1） |
与定点和直线的距离相等的点的轨迹. |
||
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方
程 |
标准方程 |
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y2=2px |
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参数方程 |
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范围 |
─a£x£a，─b£y£b |
|x| ³ a，yÎR |
x³0 |
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中心 |
原点O（0，0） |
原点O（0，0） |
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顶点 |
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) |
(a,0), (─a,0) |
(0,0) |
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对称轴 |
x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2b |
x轴，y轴;实轴长2a, 虚轴长2b. |
x轴 |
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焦点 |
F1(c,0), F2(─c,0) |
F1(c,0), F2(─c,0) |
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焦距 |
2c （c= |
2c （c= |
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离心率 |
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e=1 |
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准线 |
x= |
x= |
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渐近线 |
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y=± |
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焦半径 |
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通径 |
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2p |
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焦参数 |
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P |
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圆锥曲线
一.基本概念
练习：1、已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为
2、已知点P是抛物线
上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为
3、抛物线
的焦点坐标是 ，准线方程是 。焦点和准线的形式统一性
二、各种不同的考法
考点一：考方程形式
练习：1、
”是”方程
表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）（）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件高
2、设椭圆
（
，
）的焦点与抛物线
的焦点相同，离心率为
，则此椭圆的方程为
3、曲线
的虚轴长是实轴长的两倍，则
4、如果
表示焦点在
轴上的椭圆，那么实数
的取值范围是
5、椭圆
的离心率为，则的值为 ______________
6、当
时，曲线
与曲线
的（ ）
A．离心率相等 B．焦距相等 C．焦点相同 D．形状相同
考点二：求圆锥曲线的方程，①直译法；②代定系数法；③定义法；④已知渐近线方程为
，求双曲线方程
练习：1、两点
，如果动点
满足
，则点的轨迹所包围的图形的面积是
2、设
,在平面直角坐标系中,已知向量
,向量
,
,动点
的轨迹为E.求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
3、已知椭圆C的中心在原点，焦点在
轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的圆边形是一个面积为8的正方形，则椭圆C的方程：
4、设椭圆C1的离心率为
，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为
5、已知双曲线的两个焦点为
，
，P是此双曲线上的一点，且
，
，则该双曲线的方程是
考点三、考圆锥曲线的方程的焦点、渐近线、长短轴、离心率
、焦点三角形、抛物线的准线方程等基本概念：
特别是求离心率（或范围），①得到一个关于
、
、
的等量关系式（或不等式）；②把用、代替，得到关于、方程（或不等式）；③同除
化为关于
方程（或不等式）；
练习：1、双曲线
的渐近线与圆
相切，则
2、椭圆
的焦点为
，点P在椭圆上，若
，则
；
的大小为
3、已知双曲线
的左、右焦点分别为
，其一条渐进线方程为
点
在该双曲线上，则
4、设双曲线
的虚轴长为2，焦距为
，则双曲线的渐近线方程为
5、设
和为双曲线
(
)的两个焦点, 若
，
是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为
6、过双曲线C：
的一个焦点作圆
的两条切线，切点分别为A.B，若
（O是坐标原点），则双曲线线C的离心率为
